2024阿里巴巴全球数学竞赛决赛试题

北风其凉

没有选择题，答不了

不点

前一帖给出了 a(n) ≤ b * n ^ c 的证明，这里，常数 b = a(1)，c = (b + 1) / 2

也就是说，次方数 c 是 b 和 1 的算术平均值。

我昨天又尝试证明了，当 c 是 b 和 1 的几何平均值，即 c = b ^ 0.5 时，【根号无法写出来，这里 b ^0.5 其实就是 “根号 b”】 ， a(n) ≤ b * n ^ c 也成立。确实证出来了，数学归纳法没有遇到障碍。但我不再写证明过程了。这里我想说几个观点。

第一，能用数学归纳法直接做出来的题，通常都不是难题。那些难题，你想用数学归纳法来解题，可能都行不通。当然，阿里巴巴这道题难度确实很高，它没有提示你先证明 a(n) ≤ b * n ^ c，然后再去证明 a(n) 有极限。假如本题是先求证 a(n) ≤ b * n ^ c，再求证数列存在极限，那样的话，难度就陡然下降了。也就是说，你自己首先需要能够猜到 a(n) ≤ b * n ^ c，然后才能用数学归纳法顺利做出来。真正的困难就在此处，即，“猜”，就像猜谜语那样。


第二，当 c 是 b 和 1 的几何平均值时，a(n) ≤ b * n ^ c 也成立。这个结果，比前面给出的 c = (b + 1) / 2 时的结果更 “优”一些。然而，“优”得不多，本质上不算是“优”，因为当 b 接近于 1 时，其算术平均值与几何平均值也越来越接近。


第三，既然当 c 是 b 和 1 的几何平均值时，我也用数学归纳法做出来了，那么，这就让我有了 “双保险”式的心理放松，强化了我对前面证明过程正确性的信心。一般来说，做完一道题，自己不敢肯定是否做对了。“一不留神把什么地方弄错了”是很常见的。比如，1 + c * x ≤（1 + x) ^ c 当 0 < c < 1 时是不成立的【此处假定 0 ≤ x ≤ 1】，虽然此不等式在 c > 1 时确实是成立的；如果疏忽大意，以这个错误的不等式为基础去做题，其结果就是无效的证明。



第四，前面用数学归纳法做出来的，都是次方数 c 大于 b 的情况。如果次方数就用 b，那我就做不出来了【别人能否做出来，我不知道】。即使现在，让我证明 a(n) ≤  n ^ b，我也做不出来，虽然我用电子表格可以检验，此不等式是没有遇到反例的，因而我也相信此不等式是成立的。当然了，此不等式究竟能否成立，我也不知道，因为毕竟我证明不了。现在假定此不等式确实是成立的，而阿里巴巴的原题改为求证此不等式成立，那样的话，其难度就又上升了一个大台阶，对我来说，无法完成。

XJMGS

看着好像没看懂的样子

gufeng51520

谢谢分享

不点

后续思考。既然数列有极限，那么，极限究竟会是多大呢？

用电子表格来粗略研究数据规律，发现 a(n) < (1 + b) * b / (1 - b)，此处 b = a(1)，就是说，b 代表数列的首项。

有以下两个疑问：

一、这个不等式是否成立？

二、不等式右端会不会是数列  a(n) 的极限？

不点

用一个在线画函数曲线的网页，来画下面这个函数的曲线：


1/(1-0.999)/0.999*((1+x)^0.999 - 1 - 0.999*x^(2-0.999))


常数 0.999 只是一个例子。可以换成任意一个常数 s 来试验，0 < s < 1


可以发现，无论 s 在 0 到 1 之间如何变化，函数 f(x) = (1 + x) ^ s - 1 - s * x ^ (2 - s) 的正的零点总是位于区间 (0.7392473, 0.7468818)。


也就是说，当 0 < x < 0.7392473 时，总是有 f(x) > 0。我们不证明这一点，而只是利用它。利用它就可以证明前述不等式 a(n) ≤ b * n ^ b 对于 n > 3 成立，此处 b = a(1)。数学归纳法的 “归纳递推”这一步，需要利用当 0 < x ≤ 0.5 时 f(x) > 0。“归纳递推”的推证过程略去。
在“归纳奠基”这一步，需要证明 a(4) ≤b * 4 ^ b。利用数列 a(n) 的递推关系式，可以用 b 来表示 a(4)【为紧凑起见，下式右端省略乘号】：


a(4) = b(b+1)(1+b(b+1)/4)(1+b(b+1)(1+b(b+1)/4)/9)



要证明 a(4) ≤b * 4 ^ b，只需证明


(b+1)(1+b(b+1)/4)(1+b(b+1)(1+b(b+1)/4)/9) - 4 ^ b ≤ 0


利用在线函数曲线作图工具容易了解上述不等式成立。这个不等式也可以证明出来，证明过程略去。

plutoshen

不点 发表于 2024-7-14 12:32
用一个在线画函数曲线的网页，来画下面这个函数的曲线：

网页发一下吧，让我们也看看函数的曲线。

不点

plutoshen 发表于 2024-7-14 19:21
网页发一下吧，让我们也看看函数的曲线。

这种网页有很多，我只是随便找了一个：

https://demo2.yunser.com/math/fooplot/

这类网页非常好，能够帮助你观察函数的曲线，让你直观了解函数的性质。比电子表格更适合于做数学题。

不点

用在线画曲线的网页，在 0 < x < 1 的范围，观察这个函数的曲线


(1+0.7)^x -1 - x * 0.7 ^ (2-x)


可以直观了解，此函数的函数值总是 > 0。


这就是说，前面所说的函数


f(x) = (1 + x) ^ s - 1 - s * x ^ (2 - s)


在 x = 0.7 时，总是正数，不管 s 在 0 到 1 之间如何变化。那么，【通过观察 f(x) 的曲线图】这也就说明了，f(x) > 0 当 0 < x < 0.7 时恒成立，不管常数 s 在 0 到 1 之间如何变化。当然，这只是从函数 f(x) 的曲线图得出的直观结论，不能算是严格证明。在考试时，如果由于时间紧张，缺少了严格证明步骤，但你所引用的结论本身是正确的，我认为，这还是可以得分的，尽管也可能会扣掉一些分数。最起码你已经有思路了，比“完全没思路”还是要好很多。

plutoshen

不点 发表于 2024-7-14 20:11
这种网页有很多，我只是随便找了一个：

https://demo2.yunser.com/math/fooplot/

哦，我原来只知道有这种软件，网站还是第一次知道。

不点

plutoshen 发表于 2024-7-14 22:08
哦，我原来只知道有这种软件，网站还是第一次知道。

关键是浏览器太强大了。人类的文明要进步，所以，浏览器要越来越强大，强大到能够充当一个操作系统，实现操作系统的（几乎）全部功能。不是有个开源的浏览器桌面吗？它的主页在这里：https://www.os-js.org 。它的演示页在这里： https://demo.os-js.org/

有人想发展浏览器，也有人要阻止浏览器的发展。这是利益冲突的表现。想要发展浏览器者，是利益驱使；想要阻碍浏览器者，也是利益驱使。曾经的 Firefox OS 已经停止开发了。我认为，这是某些（或某个）利益集团害怕了，拿钱消灾，把 firefox OS 给灭掉了。世上的一切，皆是利益。现在有利益集团想要灭掉通用浏览器，推行它自己的专用浏览器，或者叫做 APP，或者叫做客户端，本质一样，都是把开源的通用的浏览器代码拿过来进行改造，改造成封闭源码的、私有的浏览器，其目的是在用户电脑、手机上种植木马，从而监督和控制用户的一举一动。

plutoshen

不点 发表于 2024-7-15 06:12
关键是浏览器太强大了。人类的文明要进步，所以，浏览器要越来越强大，强大到能够充当一个操作系统，实现 ...

嗯嗯，好多东西明明在浏览器能看，非要让人下载安装他们的客户端，比如XXDN。

不点

plutoshen 发表于 2024-7-15 10:14
嗯嗯，好多东西明明在浏览器能看，非要让人下载安装他们的客户端，比如XXDN。

安心搞数学吧。搞数学，基本上不伤害利益集团的利益。而电脑相关行业，太过于利益化了。

搞数学，你还可能有所收获。

搞电脑，到头来，你可能发现，你一无所获，然而你却很清楚你失去了啥 —— 你的若干年的时间、岁月、青春、健康，可能就白白失去了。

当然了，年轻人要明白我说的话，还是不容易的。要上了岁数才会有体会。

plutoshen

不点 发表于 2024-7-15 11:20
安心搞数学吧。搞数学，基本上不伤害利益集团的利益。而电脑相关行业，太过于利益化了。

搞数学，你还 ...

不知道您多大年纪，我也不是年轻人了。
钱不钱的无所谓，研究技术是我的个人爱好，单纯的兴趣。
国外那么多开源软件，人家都不在乎这些，要不然所有人都是各大厂商的奴隶了。

不点

您开的这个技术帖很好。看得出您喜欢研究技术。我也喜欢技术，这是我们的共同点。在有些问题（尤其是“非技术”问题）上的认识有差异、有不同，这也是没办法的事情，只能经历时间的流逝，才有可能改变。我前一帖的意思是说，技术分两种，一种是与利益集团无关（或关系很小）的技术，另一种是与利益集团密切相关的技术。前一种技术基本上算是自由的，不受控。后一种技术是受控的。那可能就有人说了：“我咋就看不见有啥东西受控了呢？”我这么回答：“没到时候，时候未到；等时候到了，你自然就知道啥东西受控了。”当然了，受控的技术，也是可以研究的。在那些不那么敏感的领域进行研究或应用，都是被允许的。在那些不怎么伤害控制者的领域进行研究，是可以的。但如果你某一天“超范围”了，你就会遇到阻碍。因为你的研究是逐步深入的，你的水平也是逐步提高的，因此，总有一天，你“超纲”了。那时候你发现，前头的路堵死了，走不通。不是因为技术困难，而是因为控制者不允许。如果事情确实是这样一个前景的话，我就觉得，还不如早早看穿这一切，早早远离这个坑。

论坛上谈这些非技术的话题，可能永远也谈不完。我们还是回归共同感兴趣的技术话题吧。

plutoshen

不点 发表于 2024-7-16 07:38
您开的这个技术帖很好。看得出您喜欢研究技术。我也喜欢技术，这是我们的共同点。在有些问题（尤其是“非技 ...

懂的都懂，阻碍技术进步的永远是人，所以我们自娱自乐就好，不为名不为利，不求回报。

zzyo12138

谢谢分享

bigdiger_KING

幸亏当年没去学数学

nongren

多谢分享！！

ynb168c

感谢分享！

ldg_2

如看天书，甚至连题目中的某些符号都不会读，很受打击！

不点

抱歉，我上班时看到一篇文章，回家再搜，竟然搜不到了。

好不容易，在一个偏僻处，又搜到了这篇文章。为防止它彻底消失掉，我得在这里保存一份。说它偏僻，是说通过搜索引擎找不到它，当然也可能是因为我人品太差，所以我才搜不到。

本人不对事情本身进行鉴别，本人只想保存原文，以防某一天永远找不到了。

赵斌再次否认姜萍是“天才少女”，强调是团队的一次炒作事件
https://cj.sina.com.cn/articles/view/2024096085/78a54155001019l7i

我不想保存图片，因为太麻烦，而且会占用本论坛的资源空间。以下只复制原文中的文字部分。

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姜萍从阿里初赛到决赛，从被认可到质疑，目前她本人和校方并没有对此事做出回应。

整个暑假，姜萍选择“隐身”，她和家人都在过着属于自己的普通低调生活。

近日，关于她被评为“天才少女”的事件再一次引起了热议。

同时不少人形容姜萍的事件要彻底反转，主要是开始有人怀疑姜萍并没有真正的数学天赋。

尤其是在此前被质疑的一群人发声之后，赵斌，39个联名书信要求彻查此事的参赛者之后。

很多人在质疑姜萍事件究竟是不是一次学校与老师的炒作事件？

就连涟水教体局也在等待阿里达摩院方面的一个最终结果，大家都在等待两个方面的最终决定。

1：达摩院的决赛成绩。2：阿里赛事委员方对姜萍调查的回应。

那么赵斌这边的反应是怎么样的呢？

大家似乎对他有了一些误解，随着他的表态开始深入，他强调自己并没有将矛头指向姜萍，而是在强调这一件事情，怀疑是炒作事件。

另外他也在此前就强调了在某些平台上面并没有用“赵斌”这个名字，事实上自己不会在任何媒体账号上面用这两个字，所以关于500万的对赌，关于对姜萍的质疑，是假的。

回到事件的核心，如果只是强调姜萍事件是炒作，并没有针对姜萍，那么事件是不是有像赵斌所说的那样子呢？

他表示姜萍也许只是该事件的一个载体，或者事件本身就是围绕着姜萍有没有真正的数学天赋而展开，所以她是否像被宣传的那样子，数学天才？

大家为什么质疑姜萍，因为本质上是对该事件抱了一定的怀疑态度。

如果是学校和数学老师炒作，是团队在炒作，那么姜萍极有可能只是一颗棋子，事件如果真如赵斌所言，那姜萍事件就彻底反转了。

大家还在期待着姜萍决赛的最终成绩呢，8月底，成绩出炉的那一刻，是否是姜萍事件最终下结论的时候？

在最后，赵斌表示自己只关心数学，不在乎该事件本质的问题。是炒作还是真假，一切已经不再重要。

那么从网友们的舆论来看，大家还是对姜萍抱着非常肯定且支持的态度，相信她是数学天才，是一个从中专走出来的天赋少年。

17岁，中专生，自学高等数学，被一众专业数学大师给质疑，甚至怀疑她作弊，要求阿里彻查此事。

目前姜萍和家人都没有发声，姜萍本人也选择了隐藏起来。

那么这一件事情的背后，真的是炒作？为何那么多的参赛选手联名要求彻查此事，是他们输不起吗？

从当下的情况来看，姜萍被质疑极有可能会迎来彻底的反转。

不过在真相没有出来之前，我们普通人宁愿相信姜萍事件是真的。毕竟寒门出贵子太不容易了，尤其是像姜萍这样子的中专生。

姑娘才17岁，自学成才，相信她，她太不容易了，为她点赞。

plutoshen

不点 发表于 2024-7-26 15:41
抱歉，我上班时看到一篇文章，回家再搜，竟然搜不到了。

好不容易，在一个偏僻处，又搜到了这篇文章。为 ...

引用一段话：

永远不要停止去做你认为正确的事情
永远不要放弃
在你的生命中，会有很多时候，你想放弃，想回家
但我做不到
永远不要放弃
无论别人怎么说，
你都要有信心去说出你心中的希望
去表达那激荡你灵魂的热爱

不点

plutoshen 发表于 2024-7-26 16:06
引用一段话：

永远不要停止去做你认为正确的事情

我不认为有什么绝对的正确和错误。立场不同，结论就不同。我站在谁的立场上？我只能站在自己的立场上。但是，要判断正确与错误，那可不容易，一不留神，就判断错了。所以，其实我没有立场，或者说，我还没有形成明确的立场。我在观察，或者说是吃瓜、看戏。

虽然我没有立场，但我有信念。我有如下两个信念：

1、纸里包不住火。

2、真金不怕烈火炼。

plutoshen

不点 发表于 2024-7-26 18:11
我不认为有什么绝对的正确和错误。立场不同，结论就不同。我站在谁的立场上？我只能站在自己的立场上。但 ...

对，这个世界上没有对错只有真假和利益。

买东西的希望东西便宜，卖东西的希望卖个好价钱，东西真假好坏是客观确定的。

买卖双方都希望价格对自己有利，当然就有了不同的看法，谁也不能说对方就是错的。

不点

前面有朋友说“幸亏当年没去学数学”。这意思大概是：数学太难了，一旦上了贼船，那可是骑虎难下。

但是，当年是当年，当年不代表现在，当年也不代表永远。当年你可能选择了一条符合你自身发展的道路，那是正确的道路。但是现在，情况可能已经发生了变化。当年你有竞争压力，迫使你选择有利于竞争的道路，迫使你放弃那些你认为属于“包袱”的东西（比如数学）。现在，你的生活稳定下来了，没有了竞争的压力，此时，假如你还想学数学的话，我认为恰是时候。

plutoshen

学数学，学编程，1就是1，2就是2，差一个符号就不行，没有敷衍应付，没有尔虞我诈，永远不要停止去做你认为正确的事情。